[독서] 틀리지 않는법

틀리지 않는 법 [수학적 사고의 힘]

1. 동전 던지기

1)

"앞"면 "뒷"면이 있는 동전을 던져보자. 동전은 양면이니 동전을 여러번 던져본 후에 "앞"면이 나온 비율을 살펴 본다고 할 때 동전을 4회 던져 보자 

"두번째 결과 까지 앞면이 2개 나왔다----->p=1/2 이다----->뒤에 2개는 뒷면이 나올 것이다."

이렇게 생각하는 것이 옳은가?  그렇지 않다. p값은 여전히 1/2 이다. 나머지 2개의 동전의 앞면이 나올지 뒷면이 나올지 확률은 1/2로 여전히 동일하다. 

2) 

동전을 10번 던졌을 때 "앞"면의 수가 9인 경우는 얼마나 자주 나올까. 이경우는 생각보다 자주 나온다 극히 낮은 확률은 아니다

동전을 100번 던졌을 때 에도 "앞"면의 수가 90%가 되는 경우는 자주 발생할까? 

대답은 그렇지 않다 이다. 이경우 "큰수의 법칙"이 적용 되기 때문이다. 직관적으로 이야기 하자면 N=10일때 보다 N=100일때 P값은 더 무겂다. 즉 N이 클수록 비율 P의 변이(분산)이 작기 때문에 p값이 튀는 경우가 N이 작을때에 비해서 극히 드물게 일어 난다는 것이다.

3) 던진 횟수에 따른 "앞"면의 비율을 따져보자.

R studio를 통한 그래프

위의 그래프를 보면 던진 횟수가 커질수록 앞면의 비율이 초기에는 변동이 크다가 점점 작아지는 것을 볼 수 있다. 

즉. 큰수의 법칙에 따라 p값은 1/2을 향해 가고 있다.

하지만 여기서 주의할 점이 있는데 던진 횟수가 적을 때 즉. 초기에 앞면의 비율이 크기 때문에 비율을 맞추기 위해 p값 1/2에 가는 것이아니다 위에서 말했듯이 p값은 1/2로 여전히 같다 동전을 4번 던졌을 때 앞면 앞면 이 2번 나왔을 때 나머지 2번의 시행에서 뒷면 뒷면이 나올 확률이 커지는게 아니라 수많은 시행으로 인해 초기의 변동이 희석되는 것이지  앞서 앞면이 나왔기에 비율을 맞추려고 뒷면이 나오는 것이 아니다 

2. 기대값

1) 기대값 : 기대값은 당신이 기대하는 값이 아니다.

<예시>

호인, 한혁, 범모, 한영, 현복 5명의 인원이 토스트를 사먹는다고 할 때 총 10,000원의 비용이 든다고 하자.  5,000원을 2명이서 부담하기로 하고 2명을 랜덤하게 사다리타기를 통해 정한다고 할 때 (2명의 인원은 5,000원씩 부담하고 실질적으로 3,000원 손해, 나머지 3명은 +2000원씩 이득, 토스트가 개당 2,000원 이라고 할 때) 

즉. 1) 3,000원 손해볼 상황(2,000원짜리 토스트먹고 원래 값보다 3,000원 더 냄)

     2) 2,000원 이득인 상황(2,000원짜리 토스트먹고 돈 안냄)

이라고 할 때 그 기대값은 아래와 같다.

<궁금증>

기대값이 0원이면 토스트내기를 하였을 때 나는 토스트를 먹고도 돈을 잃지 않을 것인가?

대답은 "그렇지 않다" 이다.  

기대값의 "진짜" 뜻은 내가 이와 같은 내기를 충분히 많이 N번 반복했을 때 그 값들의 평균이 0원 이라는 뜻이다.

즉. 기대값이 0원 이라고 해서 내가 토스트내기를 하였을 때 공짜로 토스트를 항상 먹을 수 있는 것이 아니고 정확히 말하면 평균적으로 0원을 지불하게 된다는 것이다.

 

분산은 내가 3,000원을 손해 볼 확률이 2/5이고 2,000원 이득 볼 확률이 3/5이므로 일어날 수 있는 상황은  "-3,000원" 또는 "+2,000원"이다. 각 상황에 대한 차이가 크지 않고 기대값 또한 0원이므로 재미삼아 해볼만한 내기라고 생각되는데  이와 관련된 것은 행동경제학에서 심도있게 다루는 분야이므로 더이상의 설명은 못하겠습니다 ㅎㅎ